Belajar

Sunday, October 6, 2019

Determinan

Determinan matriks A dideﬁnisikan sebagai selisih antara perkalian elemen-elemen pada diagonal utama dengan perkalian elemen-elemen pada diagonal sekunder.

Determinan dari matriks A dinotasikan dengan det A atau |A|.

Nilai dari determinan suatu matriks berupa bilangan real.

Deterninan Matriks Persegi

Determinan untuk setiap matriks persegi A dapat menentukan tepat satu bilangan real yang diperoleh dengan aturan tertentu terhadap unsur-unsur di A.
Untuk setiap matriks bujur sangkar A terdapat nilai karakteristi yang dikenal sebagai determinan, biasa ditulis det (A) atau

Determinan matriks A ditulis sebagai

Determinan matriks ordo 2 x 2

Matriks berordo 2 × 2 yang terdiri atas dua baris dan dua kolom. Pada bagian ini akan dibahas determinan dari suatu matriks berordo 2 × 2. Misalkan A adalah matriks persegi ordo 2 × 2 dengan bentuk

Determinan matriks A di definisikan sebagai selisih antara perkalian elemen-elemen pada diagonal utama dengan perkalian elemen-elemen pada diagonal sekunder. Determinan dari matriks A dinotasikan dengan det A atau |A|.
Nilai dari determinan suatu matriks berupa bilangan real.

Berdasarkan definisi determinan suatu matriks, Anda bisa mencari nilai determinan dari matriks A, yaitu:

Contoh

Determinan matriks ordo 3 x 3

Pada bagian ini, Anda akan mempelajari determinan mariks berordo 3 × 3.

Misalkan A matriks persegi berordo 3 × 3 dengan bentuk

Determinan dari Matriks diatas adalah

Jika dalam suatu permutasi ( susunan ) bilangan-bilangan yang lebih besar terletak di depan bilangan yang lebih kecil, maka permutasi itu disebut mempunyai inversi. Hasil kali susunan bilangan-bilangan dalam determinan A yang bertanda negatif apabila permutasi dari bilangan mempunyai banyak inversi ganjil, dan bertanda positif apabila permutasi mempunyai inversi nol atau genap.

Misalnya, permutasi dari 3 bilangan { 1 , 2 , 3 } yaitu :

123 , 132 , 213 , 231 , 312 , 321

· Inversi dari 123 adalah 0, maka tanda perkaliannya “+”

· Inversi dari 132 adalah 1, yaitu 32,maka tanda perkaliannya “-“

· Inversi dari 213 adalah 1, yaitu 21,maka tanda perkaliannya “-“

· Inversi dari 231 adalah 2, yaitu 21 dan 31,maka tanda perkaliannya “+“

· Inversi dari 312 adalah 2, yaitu 31 dan 32,maka tanda perkaliannya “+“

· Inversi dari 321 adalah 3, yaitu 32, 21 dan 31,maka tanda perkaliannya “-“

Untuk

merupakan determinan dari matriks A ordo Perkalian susunan bilangan-bilangan disesuaikan dengan permutasi n = 3 unsur yaitu :

artinya perkalian anggota-anggota pada baris pertama kolom ke-2 ; baris kedua kolom ke-3 dan pada baris ketiga kolom ke-1

Determinan ordo 3 juga dapat diselesaikan dengan cara SARRUS :

Adapun langkah-langkah yang harus di lakukan untuk mencari determinan matriks berordo 3 × 3 dengan metode Sarrus adalah sebagai berikut:
1. Salin kembali kolom pertama dan kolom kedua matriks A di sebelah kanan tanda determinan.
2. Hitunglah jumlah hasil kali elemen-elemen pada diagonal utama dan diagonal lain yang sejajar dengan diagonal utama (lihat gambar).
Nyatakan jumlah hasil kali tersebut dengan Du.

3. Hitunglah jumlah hasil kali elemen-elemen pada diagonal sekunder dan diagonal lain yang sejajar dengan diagonal sekunder (lihar gambar). Nyatakan jumlah hasil harga tersebut dengan Ds.

4. Sesuai dengan definisi determinan matriks maka determinan dari matriks A adalah selisih antara Du dan Ds yaitu Du – Ds.

atau

Contoh soal :

Soal 1
Tentukan determinan matriks

Pembahasan

Det A = 2.2.3 +1.1.5 +4.4.1-5.2.4 - 1.1.2 - 3.4.1=12 +5+16-40-2-12=-21
Soal 2
Diketahui matriks A=

Hitunglah nilai-nilai a yang memenuhi det A = 0.
Pembahasan

Oleh karena det (A)=0, maka

Jadi nilai a yang memenuhi adalah 2 dan 3

Soal 3
Diketahui matriks A =

Tentukan nilai determinan matriks A

Pembahasan

Jadi, nilai determinan matriks A adalah 21.

Soal 4
Hitunglah

a. det (A)
b. det (B)

Pembahasan

Dengan metode sarrus det (B) ordo 3 x 3 dapat diselesaikan

Sifat-sifat Determinan

1. Nilai determinan tidak berubah apabila baris dan kolomnya dipertukarkan. Jadi,

2. Jika semua unsur dari suatu baris (atau kolom) adalah nol, determinan matriks itu sama dengan nol.
3. Jika semua unsur suatu baris (atau kolom) adalah nol, kecuali satu unsur, determinannya sama dengan hasil kali unsur itu dengan kofaktornya.
4.Pertukaran baris atau dua kolom sembarang akan mengubah tanda determinan.
5. Jika semua unsur suatu(baris atau kolom) dikalikan dengan sebuah bilangan, determinannya juga dikalikan dengan bilangan itu.

6. Jika dua baris (atau kolom) sama atau sebanding, determinannya sama dengan nol.

7. Jika setiap unsur dalam suatu baris (atau kolom) sebuah determinan merupakan jumlah dua suku, determinannya dapat dinyatakan sebagai jumlah dua determinan yang berukuran sama.

8. Jika kita mengalikan unsur-unsur suatu baris (atau kolom) dengan sebuah bilangan kemudian dijumlahkan dengan unsur-unsur yang bersesuaian dengan suatu baris (atau kolom) yang lain, nilai determinannya tetap.

9.Jika A dan B dua matriks bujur sangkar yang berukuran sama, maka

det (A ± B) = det(A) ± det(B)

10 Jika A dan B dua matriks bujur sangkar yang berukuran sama, maka

11. Jika A dan B dua matriks bujur sangkar yang berukuran sama, maka

det(AB) = det(A) ´ det(B)

12. Jumlah dari hasil kali unsur-unsur dalam suatu baris (atau kolom) dengan kofaktor-kofaktornya dari baris (atau kolom) lainnya adalah nol. Secara matematis,

Wednesday, October 2, 2019

Logaritma- Sifat-sifat Logaritma

Logaritma

Pengertian

Pada pembahasan sebelumnya telah dipelajari tentang persamaan dan pertidaksamaan eksponen yang pastinya memuat dasar-dasar bilangan berpangkat. Bilangan berpangkat adalah dasar utama dari logaritma. Logaritma merupakan kebalikan dari eksponen yang sebelumnya telah dipelajari. Mudahnya adalah jika pada eksponen kamu disuruh mencari hasil pangkat, maka di logaritma kamu disuruh mencari besarnya pangkat.

Contoh :

1. Jika 32 = 9, maka dalam bentuk logaritma akan menjadi 3log 9 = 2

2. Jika 23 = 8, maka dalam bentuk logaritma akan menjadi 2log 8 = 3

3. Jika 53 = 125, maka dalam bentuk logaritma akan menjadi 5log 125 = 3

Bentuk umum dari bilangan berpangkat adalah an, dimana a dinamakan bilangan pokok dan n dinamakan pangkat.

Sebagai contoh :
23= 8
16½ = 4
Tetapi jika persoalannya dibalik, misalnya
32= 9 berapakah nilai x ?
25y = 5 berapakah nilai y ?

Untuk persoalan diatas tentu mudah ditebak bahwa x = 2 dan y = 1/2. Namun untuk masalah yang lebih rumit nilai x dan y dapat ditentukan dengan aturan logaritma, yaitu
Misalkan b adalah bilangan positip dan a adalah bilangan positip yang tidak sama dengan 1, maka:

Jika b^a = c, maka ^blog c = a

Dimana
a dinamakan bilangan pokok atau basis
b dinamakan numerus dan
c adalah hasil logaritma.

Jika a = e (e = 2,7128…) maka elog b ditulis ln b (dibaca: logaritma natural dari b), yaitu logaritma dengan bilangan pokok e

Contoh soal :

Ubah bentuk pangkat pada soal-soal berikut menjadi bentuk logaritma:
a) 2³ = 8
b) 5⁴ = 625
c) 7² = 49

Transformasi bentuk pangkat ke bentuk logaritma:

Jika b^a = c, maka ^blog c = a

a) 2³ = 8 → ²log 8 = 3
b) 5⁴ = 625 → ⁵log 625 = 4
c) 7² = 49 → ⁷log 49 = 2

Sifat-sifat Logaritma

Terdapat sembilan sifat-sifat dasar logaritma, yaitu :

Sifat 1

Jika a adalah bilangan real positip yang tidak sama dengan 1, maka

Sifat 2

Jika p dan q adalah bilangan real positip dan a adalah bilangan real positip yang tidak sama dengan 1, maka

Contoh soal :
$^2\log(2.4) = ^2\log{2} + ^2\log{4}$
$^2\log(8) = ^2\log{2} + ^2\log{4}$
$3 = 1 + 2$

Sifat 3

Jika p dan q adalah bilangan real positip dan a adalah bilangan real positip yang tidak sama dengan 1, maka

Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini :

Contoh soal :

Hitunglah nilai dari:

(a) log 60 + log 5 – log 3

(b) 2log 8 + 2log 16 – 2log 4

Pembahasan

(a) log 60 + log 5 – log 3

=log 60.5:3

=log100

= log 10²

⁼²

(b) 2log 8 + 2log 16 – 2log 4

=2log 8 . 16 : 4

=2log 32

=log 16 : 2 . 125

=log 1000

Sifat 4

Jika p adalah bilangan real positip dan a adalah bilangan real positip yang tidak sama dengan 1serta n adalah bilangan real sembarang, maka

Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini:

Contoh soal :

Tentukan nilai dari:
a) ²log 8 + ³log 9 + ⁵log 125
b) ²log 1/8 + ³log 1/9 + ⁵log 1/125

Pembahasan
a) ²log 8 + ³log 9 + ⁵log 125
= ²log 2³ + ³log 3² + ⁵log 5³ = 3 ²log 2 + 2 ³log 3 + 3 ⁵log 5
= 3.1 + 2.1 + 3.1

= 8

b) ²log ¹/₈ + ³log ¹/₉ + ⁵log ¹/₁₂₅
= ²log 2⁻³ + ³log 3⁻² + ⁵log 5⁻³
= − 3 .1− 2.1 − 3.1

= − 8

Sifat 5
Jika b adalah bilangan real positip serta a dan n adalah bilangan real positip yang tidak sama dengan 1, maka

Contoh soal :

Diketahui ²log 7 = a dan ²log 3 = b. Tentukan nilai dari ⁶log 14

Pembahasan
²log 7 = a
^{log 7}/ _{log 2} = a
log 7 = a log 2

²log 3 = b
^{log 3} /_{log 2} = b
log 3 = b log 2

⁶log 14 = ^{log 14}/_log6

log 2.7 log 2 + log 7 log 2 + a log 2 log 2 (1 + a) (1 + a)
=^_{_________}=^{________________} =^{__________________} =^{________________}=^______
log 2. 3 log 2 + log 3 log 2 + b log 2 log 2 (1 + b) (1 + b)
Contoh soal :

Diketahui ²log 3 = m dan ²log 5 = n . Tentukan nilai dari ²log 90

Pembahasan
   log 3
²log 3 =^_{_______} = m   Sehingga    log 3 = m log 2
   log 2

   log 5
²log 5 =^_{_______} = n Sehingga    log 5 = n log 2
   log 2

      log 3². 5 . 2              2 log 3 + log 5 + log 2
²log 90 =^{_{___________________}} =  ^{______________________________}
      log 2                           log 2

2 m log 2 + n log 2 + log 2
²log 90 =^{_{_________________________________________}} = 2 m + n + 1
log 2

Sifat 6
Jika a dan b adalah bilangan real yang tidak sama dengan 1, maka

Sifat 7
Jika c adalah bilangan real positip serta a dan b adalah bilangan real positip yang tidak sama dengan 1, maka

Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini :
Contoh soal :
Hitunglah setiap logaritma berikut ini
(a) 2log 8 . 8log 64
(b) 3log 5 . 8log 27 . 5log 8

Pembahasan
(a) 2log 8 . 8log 64
=2log 8 . 8log 2⁶
⁼2log 2⁶
^=6.2log 2
=6.1
=6
(b)3log 5 . 8log 27 . 5log 8
= 3log 5 .5log 8. 8log 3³
= 3log 3³
=3 . 3log 3
=3.1
=3

Sifat 8
Jika b adalah bilangan real positip dan a adalah bilangan real positip yang tidak sama dengan 1 serta n dan m adalah bilangan real sembarang, maka

Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini :

Contoh soal :

Soal 1

Tentukan nilai dari
a) ⁴log 8 + ²⁷log 9
b) ⁸log 4 + ²⁷log 1/9

Pembahasan
a) ⁴log 8 + ²⁷log 9
= ^2²log 2³ + ^3³log 3²
= 3/2 ²log 2 + 2/3 ³log 3
= 3/2 .1 + 2/3 .1

= 9/6 + 4/6

= 13/6

b) ⁸log 4 + ²⁷log 1/9

^2³log 2² + ^3³log 3⁻²
= 2/3 ²log 2 + (−2/3) ³log 3
= 2/3 .1 − 2/3 .1

= 0

Soal 2
Tentukan nilai dari:
a) ^√2log 8
b) ^√3log 27

Pembahasan
a) ^√2log 8
= ^{2^1/2}log 2³

= 3/0,5 ²log 2

= 3/0,5 .1

= 6

b) ^√3log 9
= ^{3^1/2}log 3²

= 2/0,5 ³log 3

= 2/0,5 .1

= 4

Sifat 9
Jika b adalah bilangan real positip serta a adalah bilangan real positip yang tidak sama dengan 1, maka

Contoh soal :

Sederhanakanlah

Soal-soal logaritma

Soal 1

Diketahui ²log √ (12 x + 4) = 3. Tentukan nilai x

Pembahasan
²log √ (12 x + 4) = 3

Ruas kiri bentuknya log, ruas kanan belum bentuk log, ubah dulu ruas kanan agar jadi bentuk log. Ingat 3 itu sama juga dengan ²log 2³. Ingat rumus ^alog a^b = b jadi

²log √( 12 x + 4) = ²log 2³

Kiri kanan sudah bentuk log dengan basis yang sama-sama dua, hingga tinggal menyamakan yang di dalam log kiri-kanan atau coret aja lognya:

²log √( 12 x + 4) = ²log 2³

√( 12 x + 4) = 2³

√( 12 x + 4) = 8

Agar hilang akarnya, kuadratkan kiri, kuadratkan kanan. Yang kiri jadi hilang akarnya:

12 x + 4 = 8²
12x + 4 = 64
12 x = 60
x = ⁶⁰/₁₂ = 5

Soal 2
Tentukan nilai dari ³log ⁵log 125

Pembahasan
³log ⁵log 125 = ³log ⁵log 5³
= ³log 3 = 1

Soal 3
Diketahui:
log p = A
log q = B
Tentukan nilai dari log p³ q²

Pembahasan
log p³ q² = log p³ + log q² = 3 log p + 2 log q = 3A + 2B
Soal 4
Diketahui
log 40 = A dan log 2 = B, tentukan nilai dari log 20

Pembahasan
log 20 = log 40/2 = log 40 − log 2 = A − B
Soal 5

Tentukan nilali dari persamaan di bawah!

$^{8}log \sqrt{8+2\sqrt{12}} + ^{8}log\sqrt{8 - 4\sqrt{3}} = ....$