Matriks- Determinan Matriks

Determinan

Baca juga Ringkasan Matriks- Pengertian, Jenis, Ordo, Transpose

Baca juga Matriks- Operasi Matriks, Penjumlahan, Pengurangan, dan Perkalian

Determinan matriks A didefinisikan sebagai selisih antara perkalian elemen-elemen pada diagonal utama dengan perkalian elemen-elemen pada diagonal sekunder. 

Determinan dari matriks A dinotasikan dengan det A atau |A|. 

Nilai dari determinan suatu matriks berupa bilangan real.

Deterninan Matriks Persegi

Determinan untuk setiap matriks persegi A dapat menentukan tepat satu bilangan real yang diperoleh dengan aturan tertentu terhadap unsur-unsur di A.
Untuk setiap matriks bujur sangkar A terdapat nilai karakteristi yang dikenal  sebagai determinan, biasa ditulis det (A) atau

Determinan matriks A ditulis sebagai

Determinan matriks ordo 2 x 2

Matriks berordo 2 × 2 yang terdiri atas dua baris dan dua kolom. Pada bagian ini akan dibahas determinan dari suatu matriks berordo 2 × 2. Misalkan A adalah matriks persegi ordo 2 × 2 dengan bentuk

Determinan matriks A di definisikan sebagai selisih antara perkalian elemen-elemen pada diagonal utama dengan perkalian elemen-elemen pada diagonal sekunder. Determinan dari matriks A dinotasikan dengan det A atau |A|. 
Nilai dari determinan suatu matriks berupa bilangan real.

Berdasarkan definisi determinan suatu matriks, Anda bisa mencari nilai determinan dari matriks A, yaitu:

Contoh

Determinan matriks ordo 3 x 3

Pada bagian ini, Anda akan mempelajari determinan mariks berordo 3 × 3.

Misalkan A matriks persegi berordo 3 × 3 dengan bentuk

Determinan dari Matriks diatas adalah

Jika dalam suatu permutasi ( susunan ) bilangan-bilangan yang lebih besar terletak di depan bilangan yang lebih kecil, maka permutasi itu disebut mempunyai inversi. Hasil kali susunan bilangan-bilangan dalam determinan A yang bertanda negatif apabila permutasi dari bilangan mempunyai banyak inversi ganjil, dan bertanda positif apabila permutasi mempunyai inversi nol atau genap.

Misalnya, permutasi dari 3 bilangan { 1 , 2 , 3 } yaitu :

123 , 132 , 213 , 231 , 312 , 321

·      Inversi dari 123 adalah 0, maka tanda perkaliannya “+”

·      Inversi dari 132 adalah 1, yaitu 32,maka tanda perkaliannya “-“

·      Inversi dari 213 adalah 1, yaitu 21,maka tanda perkaliannya “-“

·      Inversi dari 231 adalah 2, yaitu 21 dan 31,maka tanda perkaliannya “+“

·      Inversi dari 312 adalah 2, yaitu 31 dan 32,maka tanda perkaliannya “+“

·      Inversi dari 321 adalah 3, yaitu 32, 21 dan 31,maka tanda perkaliannya “-“

Untuk

merupakan determinan dari matriks A ordo Perkalian susunan bilangan-bilangan disesuaikan dengan permutasi n = 3 unsur yaitu :

artinya perkalian anggota-anggota pada baris pertama kolom ke-2 ; baris kedua kolom ke-3 dan pada baris ketiga kolom ke-1

Determinan ordo 3 juga dapat diselesaikan dengan cara SARRUS :

Adapun langkah-langkah yang harus di lakukan untuk mencari determinan matriks berordo 3 × 3 dengan metode Sarrus adalah sebagai berikut:
1. Salin kembali kolom pertama dan kolom kedua matriks A di     sebelah  kanan tanda         determinan.
2. Hitunglah jumlah hasil kali elemen-elemen pada diagonal utama dan diagonal lain yang sejajar dengan diagonal utama (lihat gambar). 
Nyatakan jumlah hasil kali tersebut dengan Du.

3. Hitunglah jumlah hasil kali elemen-elemen pada diagonal sekunder dan diagonal lain yang sejajar dengan diagonal sekunder (lihar gambar). Nyatakan jumlah hasil harga tersebut dengan Ds.

4. Sesuai dengan definisi determinan matriks maka determinan dari matriks A adalah selisih antara Du dan Ds yaitu Du – Ds.

atau

Contoh soal :

Soal 1
Tentukan determinan matriks 

Pembahasan


Det A = 2.2.3 +1.1.5 +4.4.1-5.2.4 - 1.1.2 - 3.4.1=12 +5+16-40-2-12=-21
Soal 2
Diketahui matriks A= 
Hitunglah nilai-nilai a yang memenuhi det A = 0.
Pembahasan

Oleh karena det (A)=0, maka

Jadi nilai a yang memenuhi adalah 2 dan 3

Soal 3
Diketahui matriks A = 
Tentukan nilai determinan matriks A

Pembahasan

Jadi, nilai determinan matriks A adalah 21.

Soal 4
Hitunglah

a. det (A)
b. det (B)

Pembahasan  

Dengan metode sarrus det (B) ordo 3 x 3 dapat diselesaikan

Sifat-sifat Determinan

1. Nilai determinan tidak berubah apabila baris dan kolomnya dipertukarkan. Jadi,

2. Jika semua unsur dari suatu baris (atau kolom) adalah nol, determinan matriks itu sama dengan nol.
3. Jika semua unsur suatu baris (atau kolom) adalah nol, kecuali satu unsur, determinannya sama dengan hasil kali unsur itu dengan kofaktornya.
4.Pertukaran baris atau dua kolom sembarang akan mengubah tanda determinan.
5. Jika semua unsur suatu(baris atau kolom) dikalikan dengan sebuah bilangan, determinannya juga dikalikan dengan bilangan itu.

6. Jika dua baris (atau kolom) sama atau sebanding, determinannya sama dengan nol.

7. Jika setiap unsur dalam suatu baris (atau kolom) sebuah determinan merupakan jumlah dua suku, determinannya dapat dinyatakan sebagai jumlah dua determinan yang berukuran sama.

8. Jika kita mengalikan unsur-unsur suatu baris (atau kolom) dengan sebuah bilangan kemudian dijumlahkan dengan unsur-unsur yang bersesuaian dengan suatu baris (atau kolom) yang lain, nilai determinannya tetap.

9.Jika A dan B dua matriks bujur sangkar yang berukuran sama, maka

det (A ± B) = det(A) ± det(B)

10 Jika A dan B dua matriks bujur sangkar yang berukuran sama, maka

11. Jika A dan B dua matriks bujur sangkar yang berukuran sama, maka

det(AB) = det(A) ´ det(B)

12. Jumlah dari hasil kali unsur-unsur dalam suatu baris (atau kolom) dengan kofaktor-kofaktornya dari baris (atau kolom) lainnya adalah nol. Secara matematis,