Determinan
Determinan matriks A didefinisikan sebagai selisih antara perkalian elemen-elemen pada diagonal utama dengan perkalian elemen-elemen pada diagonal sekunder.
Determinan dari matriks A dinotasikan dengan det A atau |A|.
Nilai dari determinan suatu matriks berupa bilangan real.
Deterninan Matriks Persegi
Determinan untuk setiap matriks persegi A dapat menentukan tepat satu bilangan real yang diperoleh dengan aturan tertentu terhadap unsur-unsur di A.Untuk setiap matriks bujur sangkar A terdapat nilai karakteristi yang dikenal sebagai determinan, biasa ditulis det (A) atau
Determinan matriks A ditulis sebagai
Determinan matriks ordo 2 x 2
Matriks berordo 2 × 2 yang terdiri atas dua baris dan dua kolom. Pada bagian ini akan dibahas determinan dari suatu matriks berordo 2 × 2. Misalkan A adalah matriks persegi ordo 2 × 2 dengan bentuk
Determinan matriks A di
definisikan sebagai selisih antara perkalian elemen-elemen pada diagonal utama
dengan perkalian elemen-elemen pada diagonal sekunder. Determinan dari matriks A
dinotasikan dengan det A atau |A|.
Nilai dari determinan suatu matriks berupa bilangan real.
Nilai dari determinan suatu matriks berupa bilangan real.
Berdasarkan definisi determinan suatu matriks, Anda bisa mencari nilai determinan dari matriks A, yaitu:
Determinan matriks ordo 3 x 3
Pada bagian ini, Anda akan
mempelajari determinan mariks berordo 3 × 3.
Jika dalam suatu
permutasi ( susunan ) bilangan-bilangan yang lebih besar terletak di depan
bilangan yang lebih kecil, maka permutasi itu disebut mempunyai inversi. Hasil kali susunan
bilangan-bilangan dalam determinan A yang bertanda negatif apabila permutasi
dari bilangan mempunyai banyak inversi ganjil, dan bertanda positif apabila
permutasi mempunyai inversi nol atau genap.
Untuk
merupakan determinan dari matriks A ordo Perkalian susunan bilangan-bilangan disesuaikan dengan permutasi n = 3 unsur yaitu :
artinya perkalian anggota-anggota pada baris pertama kolom ke-2 ; baris kedua
kolom ke-3 dan pada baris ketiga kolom ke-1
Determinan ordo 3 juga dapat diselesaikan dengan cara SARRUS :
Adapun langkah-langkah yang harus di lakukan untuk mencari determinan matriks berordo 3 × 3 dengan metode Sarrus adalah sebagai berikut:
1. Salin kembali kolom pertama dan kolom kedua matriks A di sebelah kanan tanda determinan.
2. Hitunglah jumlah hasil kali elemen-elemen pada diagonal utama dan diagonal lain yang sejajar dengan diagonal utama (lihat gambar).
Nyatakan jumlah hasil kali tersebut dengan Du.
3. Hitunglah jumlah hasil kali elemen-elemen pada diagonal sekunder dan diagonal lain yang sejajar dengan diagonal sekunder (lihar gambar). Nyatakan jumlah hasil harga tersebut dengan Ds.
4. Sesuai dengan definisi determinan matriks maka
determinan dari matriks A adalah selisih antara Du dan Ds yaitu
Du – Ds.
Contoh soal :
Soal 1
Tentukan determinan matriks
Pembahasan
Det A = 2.2.3 +1.1.5 +4.4.1-5.2.4 - 1.1.2 - 3.4.1=12 +5+16-40-2-12=-21
Soal 2
Diketahui matriks A=
Hitunglah nilai-nilai a yang memenuhi det A = 0.
Pembahasan
Oleh karena det (A)=0, maka
Jadi nilai a yang memenuhi adalah 2 dan 3
Soal 3
Diketahui matriks A =
Tentukan nilai determinan matriks A
Pembahasan
Jadi, nilai determinan matriks A adalah 21.
Soal 4
Hitunglah
a. det (A)
b. det (B)
Pembahasan
Dengan metode sarrus det (B) ordo 3 x 3 dapat diselesaikan
Misalnya, permutasi dari 3 bilangan { 1 , 2 , 3 } yaitu :
123 , 132 , 213 , 231 , 312 , 321
· Inversi dari 123 adalah 0, maka tanda perkaliannya “+”
· Inversi dari 132 adalah 1, yaitu 32,maka tanda perkaliannya “-“
· Inversi dari 213 adalah 1, yaitu 21,maka tanda perkaliannya “-“
· Inversi dari 231 adalah 2, yaitu 21 dan 31,maka tanda perkaliannya “+“
· Inversi dari 312 adalah 2, yaitu 31 dan 32,maka tanda perkaliannya “+“
· Inversi dari 321 adalah 3, yaitu 32, 21 dan 31,maka tanda perkaliannya “-“
Untuk
merupakan determinan dari matriks A ordo Perkalian susunan bilangan-bilangan disesuaikan dengan permutasi n = 3 unsur yaitu :
Determinan ordo 3 juga dapat diselesaikan dengan cara SARRUS :
Adapun langkah-langkah yang harus di lakukan untuk mencari determinan matriks berordo 3 × 3 dengan metode Sarrus adalah sebagai berikut:
1. Salin kembali kolom pertama dan kolom kedua matriks A di sebelah kanan tanda determinan.
2. Hitunglah jumlah hasil kali elemen-elemen pada diagonal utama dan diagonal lain yang sejajar dengan diagonal utama (lihat gambar).
Nyatakan jumlah hasil kali tersebut dengan Du.
3. Hitunglah jumlah hasil kali elemen-elemen pada diagonal sekunder dan diagonal lain yang sejajar dengan diagonal sekunder (lihar gambar). Nyatakan jumlah hasil harga tersebut dengan Ds.
Contoh soal :
Soal 1
Tentukan determinan matriks
Pembahasan
Det A = 2.2.3 +1.1.5 +4.4.1-5.2.4 - 1.1.2 - 3.4.1=12 +5+16-40-2-12=-21
Soal 2
Diketahui matriks A=
Hitunglah nilai-nilai a yang memenuhi det A = 0.
Pembahasan
Oleh karena det (A)=0, maka
Jadi nilai a yang memenuhi adalah 2 dan 3
Soal 3
Diketahui matriks A =
Tentukan nilai determinan matriks A
Pembahasan
Jadi, nilai determinan matriks A adalah 21.
Soal 4
Hitunglah
a. det (A)
b. det (B)
Pembahasan
Dengan metode sarrus det (B) ordo 3 x 3 dapat diselesaikan
Sifat-sifat Determinan
2. Jika semua unsur dari suatu baris (atau
kolom) adalah nol, determinan matriks itu sama dengan nol.
3. Jika semua unsur suatu baris (atau kolom) adalah nol, kecuali satu unsur, determinannya sama dengan hasil kali unsur itu dengan kofaktornya.
4.Pertukaran baris atau dua kolom sembarang akan mengubah tanda determinan.
5. Jika semua unsur suatu(baris atau kolom) dikalikan dengan sebuah bilangan, determinannya juga dikalikan dengan bilangan itu.
3. Jika semua unsur suatu baris (atau kolom) adalah nol, kecuali satu unsur, determinannya sama dengan hasil kali unsur itu dengan kofaktornya.
4.Pertukaran baris atau dua kolom sembarang akan mengubah tanda determinan.
5. Jika semua unsur suatu(baris atau kolom) dikalikan dengan sebuah bilangan, determinannya juga dikalikan dengan bilangan itu.
6. Jika dua baris (atau kolom) sama atau
sebanding, determinannya sama dengan nol.
7. Jika setiap unsur dalam suatu baris (atau
kolom) sebuah determinan merupakan jumlah dua suku, determinannya dapat
dinyatakan sebagai jumlah dua determinan yang berukuran sama.
8. Jika kita mengalikan unsur-unsur suatu
baris (atau kolom) dengan sebuah bilangan kemudian dijumlahkan dengan
unsur-unsur yang bersesuaian dengan suatu baris (atau kolom) yang lain, nilai
determinannya tetap.
9.Jika A dan B dua matriks bujur sangkar yang berukuran sama, maka
det (A ± B) = det(A) ± det(B)
10 Jika
A dan B dua matriks bujur sangkar yang berukuran sama, maka
11. Jika A dan B dua matriks bujur sangkar yang berukuran sama, maka
det(AB)
= det(A) ´ det(B)
12. Jumlah
dari hasil kali unsur-unsur dalam suatu baris (atau kolom) dengan
kofaktor-kofaktornya dari baris (atau kolom) lainnya adalah nol. Secara
matematis,
No comments:
Post a Comment