Wednesday, October 2, 2019

Logaritma- Sifat-sifat Logaritma

Logaritma

Pengertian

Pada pembahasan sebelumnya telah dipelajari tentang persamaan dan pertidaksamaan eksponen yang pastinya memuat dasar-dasar bilangan berpangkat. Bilangan berpangkat adalah dasar utama dari logaritma. Logaritma merupakan kebalikan dari eksponen yang sebelumnya telah dipelajari. Mudahnya adalah jika pada eksponen kamu disuruh mencari hasil pangkat, maka di logaritma kamu disuruh mencari besarnya pangkat.

 Contoh :
1.  Jika 32 = 9, maka dalam bentuk logaritma akan menjadi 3log 9 = 2
2. Jika 23 = 8, maka dalam bentuk logaritma akan menjadi 2log 8 = 3
3. Jika 53 = 125, maka dalam bentuk logaritma akan menjadi 5log 125 = 3

Bentuk umum dari bilangan berpangkat adalah an, dimana a dinamakan bilangan pokok dan n dinamakan pangkat.

 Sebagai contoh :
23= 8
16½ = 4
Tetapi jika persoalannya dibalik, misalnya
32= 9 berapakah nilai x ?
25y = 5 berapakah nilai y ?

 Untuk persoalan diatas tentu mudah ditebak bahwa x = 2 dan y = 1/2. Namun untuk masalah yang lebih rumit nilai x dan y dapat ditentukan dengan aturan logaritma, yaitu
Misalkan b adalah bilangan positip dan a adalah bilangan positip yang tidak sama dengan 1, maka:
Jika ba = c, maka blog c = a

Dimana 
a dinamakan bilangan pokok atau basis
b dinamakan numerus dan 
c adalah hasil logaritma.

 Jika a = e (e = 2,7128…) maka elog b ditulis ln b (dibaca: logaritma natural dari b), yaitu logaritma dengan bilangan pokok e

Contoh soal :
Ubah bentuk pangkat pada soal-soal berikut menjadi bentuk logaritma:
a) 23 = 8
b) 54 = 625
c) 72 = 49
Transformasi bentuk pangkat ke bentuk logaritma:
Jika ba = c, maka blog c = a
a) 23 = 8 → 2log 8 = 3
b) 54 = 625 → 5log 625 = 4
c) 72 = 49 → 7log 49 = 2

Sifat-sifat Logaritma

Terdapat sembilan sifat-sifat dasar logaritma, yaitu :

Sifat 1
Jika a adalah bilangan real positip yang tidak sama dengan 1, maka

Sifat 2
Jika p dan q adalah bilangan real positip dan a adalah bilangan real positip yang tidak sama dengan 1, maka

Contoh soal :
^2\log(2.4) = ^2\log{2} + ^2\log{4}
^2\log(8) = ^2\log{2} + ^2\log{4}
3 = 1 + 2

Sifat 3
Jika p dan q adalah bilangan real positip dan a adalah bilangan real positip yang tidak sama dengan 1, maka

Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini :

Contoh soal :
Hitunglah nilai dari:
(a) log 60 + log 5 – log 3 
(b)  2log 8 +  2log 16 – 2log 4
(c) log 16 – log 2 + log 125

Pembahasan
(a) log 60 + log 5 – log 3
      =log 60.5:3
      =log100
      = log 102
       =2
(b)  2log 8 +  2log 16 – 2log 4
      =2log 8 . 16 : 4
      =2log 32
      =5
(c) log 16 – log 2 + log 125
      =log 16 : 2 . 125
      =log 1000
      =3

Sifat 4
Jika p adalah bilangan real positip dan a adalah bilangan real positip yang tidak sama dengan 1serta n adalah bilangan real sembarang, maka

Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini:

Contoh soal :
Tentukan nilai dari:
a) 2log 8 + 3log 9 + 5log 125
b) 2log 1/8 + 3log 1/9 + 5log 1/125

Pembahasan
a) 2log 8 + 3log 9 + 5log 125
= 2log 23 + 3log 32 + 5log 53 = 3 2log 2 + 2 3log 3 + 3 5log 5
= 3.1 + 2.1 + 3.1 
= 8

b) 2log 1/8 + 3log 1/9 + 5log 1/125
= 2log 2−3 + 3log 3−2 + 5log 5−3
= − 3 .1− 2.1 − 3.1 
= − 8

Sifat 5
Jika b adalah bilangan real positip serta a dan n adalah bilangan real positip yang tidak sama dengan 1, maka








Contoh soal :
Diketahui 2log 7 = a dan 2log 3 = b. Tentukan nilai dari 6log 14


Pembahasan
2log 7 = a
log 7/ log 2 = a
log 7 = a log 2

2log 3 = b
log 3 / log 2 = b
log 3 = b log 2

6log 14 = log 14/log6

     log 2.7         log 2 + log 7                      log 2 + a log 2           log 2 (1 + a)                   (1 + a)
= _________ = ________________ = __________________ = ________________ = ______
     log 2. 3         log 2 + log 3                    log 2 + b log 2               log 2 (1 + b)                 (1 + b)
Contoh soal :

Diketahui  2log 3 = m dan  2log 5 = n . Tentukan nilai dari 2log 90

 Pembahasan
               log 3     
2log 3 = _______ = m   Sehingga    log 3 = m log 2
               log 2
               log 5     
2log 5 = _______ = n   Sehingga    log 5 = n log 2
               log 2
                  log 32. 5 . 2                   2 log 3 + log 5 + log 2       
2log 90 = ___________________ =  ______________________________
                    log 2                                     log 2

                   2 m log 2 + n log 2  + log 2       
2log 90 = _________________________________________ =  2 m + n + 1
                                    log 2    

Sifat 6
Jika a dan b adalah bilangan real yang tidak sama dengan 1, maka


Sifat 7 
Jika c adalah bilangan real positip serta a dan b adalah bilangan real positip yang tidak sama dengan 1, maka

Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini :
Contoh soal :
Hitunglah setiap logaritma berikut ini
(a) 2log 8 . 8log 64
(b) 3log 5 . 8log 27 . 5log 8

 Pembahasan
(a) 2log 8 . 8log 64
=2log 8 . 8log 26
=2log 26
=6. 2log 2
=6.1
=6
(b)3log 5 . 8log 27 . 5log 8
     = 3log 5 .5log 8. 8log 33
     = 3log 33
     =3 . 3log 3
      =3.1
      =3


 Sifat 8
Jika b adalah bilangan real positip dan a adalah bilangan real positip yang tidak sama dengan 1 serta n dan m adalah bilangan real sembarang, maka




Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini :
Contoh soal :
Soal 1
Tentukan nilai dari
a) 4log 8 + 27log 9
b) 8log 4 + 27log 1/9

Pembahasan
a) 4log 8 + 27log 9
= 22log 23 + 33log 32
= 3/2 2log 2 + 2/3 3log 3
= 3/2 .1 + 2/3 .1
= 9/6 + 4/6 
= 13/6

b) 8log 4 + 27log 1/9

23log 22 + 33log 3−2
= 2/3 2log 2 + (−2/3) 3log 3
= 2/3 .1 − 2/3 .1
= 0

Soal 2
Tentukan nilai dari:
a) √2log 8
b) √3log 27

Pembahasan
a) √2log 8
= 21/2log 23 
= 3/0,5 2log 2 
= 3/0,5 .1
= 6
b) √3log 9
= 31/2log 32 
= 2/0,5 3log 3 
= 2/0,5 .1

= 4

 Sifat 9
Jika b adalah bilangan real positip serta a adalah bilangan real positip yang tidak sama dengan 1, maka

Contoh soal :

Sederhanakanlah

Soal-soal logaritma

Soal 1
                   
Diketahui 2log √ (12 x + 4) = 3. Tentukan nilai x

Pembahasan
2log √ (12 x + 4) = 3
Ruas kiri bentuknya log, ruas kanan belum bentuk log, ubah dulu ruas kanan agar jadi bentuk log.  Ingat 3 itu sama juga dengan 2log 23 . Ingat rumus alog ab = b jadi
 2log √( 12 x + 4) = 2log 23
Kiri kanan sudah bentuk log dengan basis yang sama-sama dua, hingga tinggal menyamakan yang di dalam log kiri-kanan atau coret aja lognya:
 2log √( 12 x + 4) = 2log 23
√( 12 x + 4) = 23
√( 12 x + 4)  = 8
Agar hilang akarnya, kuadratkan kiri, kuadratkan kanan. Yang kiri jadi hilang akarnya:
12 x + 4 = 82
12x + 4 = 64
12 x = 60
x = 60/12 = 5
Soal 2
Tentukan nilai dari 3log 5log 125
Pembahasan
3log 5log 125 = 3log 5log 53
= 3log 3 = 1
Soal 3
Diketahui:
log p = A
log q = B
Tentukan nilai dari log p3 q2

Pembahasan
log p3 q2 = log p3 + log q2 = 3 log p + 2 log q = 3A + 2B
Soal 4
Diketahui
log 40 = A dan log 2 = B, tentukan nilai dari log 20

Pembahasan
log 20 = log 40/2 = log 40 − log 2 = A − B
Soal 5
Tentukan nilali dari persamaan di bawah!
  \[ ^{8}log \sqrt{8+2\sqrt{12}} + ^{8}log\sqrt{8 - 4\sqrt{3}} = .... \]
  \[ \textrm{A.} \; \; \; \frac{6}{3} \]
  \[ \textrm{B.} \; \; \; \frac{5}{3} \]
  \[ \textrm{C.} \; \; \; \frac{4}{3} \]
  \[ \textrm{D.} \; \; \; \frac{3}{3} \]
  \[ \textrm{E.} \; \; \; \frac{2}{3} \]
Pembahasan:
Sebelumnya, ingat kembali rumus pada pangkat dua di bawah!
Contoh Soal Logaritma (Tingkat Lanjut) dan Pembahasannya
Pertama, sederhanakan bentuk \sqrt{8+2\sqrt{12}} dan \sqrt{8 - 4\sqrt{3}}.
  \[ \sqrt{8+2\sqrt{12}} = \sqrt{(6+2)+2\sqrt{6 \cdot 2}}\]
  \[ = \sqrt{(6+2)+2\sqrt{6 \cdot 2}} \]
  \[ = \sqrt{6} + \sqrt{2} \]
  \[ \sqrt{8 - 4\sqrt{3}} = \sqrt{8 - 2\sqrt{4 \cdot 3}} \]
  \[ = \sqrt{8 - 2\sqrt{12}} \]
Soal 6
Diketahui plog2=8 dan qlog8=4. Jika s=p4 dan t=q2, maka nilai tlogs=⋯
A. 1/4
B. 1/3
C. 2/3
D. 3/2
E. 1/3

 Pembahasan
plog2=8 ⇔p=21/8
qlog8=4 ⇔q=81/4=23/4
tlogs=q2logp4
        =4/2qlogp
        =2⋅4/2 21/8log23/4
        =2⋅1/83/4  2log2
        =2⋅1/8⋅4/3
        =1/3

Sumber:
Read more: http://matematikastudycenter.com/kelas-10-sma/69-10-sma-bentuk-logaritma#ixzz61BFj7krw
https://www.defantri.com/2017/09/matematika-dasar-logaritma.html
http://matematikastudycenter.com/kelas-10-sma/69-10-sma-soal-pembahasan-bentuk-logaritma
http://materimatematikalengkap.blogspot.com/2017/11/logaritma.html
at

No comments:

Post a Comment

Subscribe to: Post Comments (Atom)

Vektor soal ulangan 1

Ulangan vektor Buka Soal