Program Linier- Pengertian, Pertidaksamaan Linier Dua Variabel

Program Linier   

Buka 23 Soal Program linier

Pengertian

Program linear merupakan suatu program yang digunakan sebagai metode penentuan nilai optimum dari suatu persoalan linear. Nilai optimum (maksimal atau minimum) dapat diperoleh dari nilai dalam suatu himpunan penyelesaiaan persoalan linear.

Program Linear adalah suatu alat yang digunakan untuk menyelesaikan masalah optimasi suatu model linear dengan keterbatasan-keterbatasan sumber daya yang tersedia. Program Linear banyak digunakan untuk menyelesaikan masalah optimasi didalam industri, perbankkan, pendidikan dan masalah-masalah lain yang dapat dinyatakan dalam bentuk linear.

Sebagai contoh permasalahan sehari-hari

Sebuah produsen sepatu membuat 2 model sepatu menggunakan 2 bahan yang berbeda. Komposisi model yang pertama terdiri dari 200 gr bahan pertama dan bahan kedua 150 gr. Sedangkan komposisi model kedua tersebut terdiri dari 180 gr bahan pertama dan 170 gr bahan kedua. Persediaan di gudang bahan pertama 76 kg dan persediaan digudang untuk bahan kedua 64 kg. Harga model pertama ialah Rp. 500.000,00 dan untuk model kedua harganya Rp. 400.000,00.

Pertanyaannya, berapakah pendapatan maksimum yang bisa dicapai?

Sebelum pada intinya yaitu program linier dalam kehidupan sehari-hari perlu dipelajari 

Pertidaksamaan Linier Dua Variabel (PtLDV)

Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (PtLDV)-  merupakan suatu kalimat terbuka matematika yang di dalamnya memuat dua variabel. Dengan masing-masing variabel berderajat satu serta dihubungkan dengan tanda ketidaksamaan. Tanda ketidaksamaan yang dimaksud disini antara lain: >, <, ≤, atau ≥.

Bentuk umum dari pertidaksamaan linier dua variabel (PtLDV)  dapat dituliskan sebagai berikut :

ax + by > c

ax + by < c

ax + by ≥ c

ax + by ≤ c

Tujuan akhir dari pertidaksamaan linier dua variabel (PtLDV) adalah himpunan penyelesaian (HP). Berbeda halnya dengan penyelesaian dari persamaan linear dua variabel yang berwujud himpunan pasangan titik-titik. Penyelesaian dari pertidaksamaan linier dua variabel  (PtLDV) ini berupa titik-titik acak yang tidak beraturan yang disebut Daerah Himpunan Penyelesaian (DHP) atau Daerah Penyelesaian (DP)

Dalam praktiknya penyelesaian pertidaksamaan linear bisa berwujud daerah diarsir atau sebaliknya daerah penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel yang berupa daerah bersih.

Oke, misal kita pilih DHP atau DP yang diarsir.

Sekarang bagaimana cara menggambar DHP?

Cara I

Untuk menentukkan daerah penyelesaiannya, kita bisa melakukan langkah-langkah seperti di bawah ini:

1. Ubahlah tanda ketidaksamaan dari pertidaksamaan menjadi tanda sama dengan (=), sehingga kita akan memperoleh persamaan linear dua variabel
2. Gambar dari grafikatau garis dari persamaan linear dua variabel tadi.
   Hal ini bisa kita lakukan dengan cara menentukan titik potong sumbu x dan sumbu y dari persamaan.
   Ataupun dapat memakai dua titik sembarang yang dilewati oleh garis. Garis akan membagi dua bidang kartesius
3. Lakukan uji titik yang tidak dilewati oleh garis (substitusi nilai x dan y titik ke pertidaksamaan). Apabila menghasilkan pernyataan yang benar, artinya daerah tersebut adalah penyelesaiannya.
   Tetapi, jika menghasilkan pernyataan salah maka bagian lainnya lah yang merupakan penyelesaiaanya.

Cara II

Untuk menentukkan daerah penyelesaiannya, kita bisa melakukan langkah-langkah seperti di bawah ini:

1. Ubahlah tanda ketidaksamaan dari pertidaksamaan menjadi tanda sama dengan (=), sehingga kita akan memperoleh persamaan linear dua variabel
2. Gambar dari grafik atau garis dari persamaan linear dua variabel tadi.
   Hal ini bisa kita lakukan dengan cara menentukan titik potong sumbu x dan sumbu y dari persamaan.
   Ataupun dapat memakai dua titik sembarang yang dilewati oleh garis. Garis akan membagi dua bidang kartesius
3.  Dengan dasar bentuk umum, dan a positif

                     ax + by > c

                     ax + by < c

                    ax + by ≥ c

                    ax + by ≤ c

Jika > maka DHP di kanan garis dan jika < maka DHP di kiri garis

Contoh 1 :

Menggambar DHP dari pertidaksamaan  2x + 3y ≥ 12 

Penyelesaian:

Mula-mula dilukis garis 2x + 3y = 12 dengan menghubungkan titik potong garis dengan sumbu X dan sumbu Y.

Titik potong garis dengan sumbu X berarti y = 0, diperoleh x = 6 (titik (6,0)).
Titik potong garis dengan sumbu Y berarti x = 0, diperoleh y = 4 (titik (0,4)).

Garis 2x + 3y = 12 tersebut membagi bidang kartesius menjadi dua bagian. Untuk menentukan daerah yang merupakan himpunan penyelesaian dilakukan dengan mengambil salah satu titik uji dari salah satu sisi daerah. 

Cara I (dengan uji titik)

Misalkan diambil titik (0,0), kemudian disubstitusikan ke pertidaksamaan sehingga diperoleh:

2.0 + 3.0 < 12
           0 < 12

Jadi 0 ≥ 12 salah, artinya tidak dipenuhi sebagai daerah penyelesaian.

Jadi, daerah penyelesaiannya adalah daerah yang tidak memuat titik (0,0), yaitu daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini.

Cara II 

Dari pertidaksamaan 2x + 3y ≥ 12  diperoleh a=2 (positif), karena > maka DHP kanan garis, DHP diarsir seperti pada gambar di bawah ini. 

 

Contoh 2  :

Menggambar DHP dari pertidaksamaan 4x – 3y < 12

Penyelesaian 

Mula-mula dilukis garis 4x – 3y = 12 dengan menghubungkan titik potong garis di sumbu X dan sumbu Y.

Titik potong garis dengan sumbu X maka y = 0 diperoleh x = 3 (titik (3,0))
Titik potong garis dengan sumbu Y maka x = 0 diperoleh y = –4 (titik (0,–4))

Karena pertidaksaman < maka garis yang dibuat putus-putus. 

Garis 4x – 3y = 12 tersebut membagi bidang kartesius menjadi dua bagian. Untuk menentukan daerah yang merupakan himpunan penyelesaian dilakukan dengan mengambil salah satu titik uji dari salah satu sisi daerah. 

Cara I

Misalkan diambil titik (0,0), kemudian disubstitusikan ke pertidaksamaan sehingga diperoleh:

4.0 – 3.0 < 12

           0 < 12 (benar), artinya dipenuhi sebagai daerah penyelesaian.

Jadi, daerah penyelesaiannya adalah daerah yang memuat titik (0,0), yaitu daerah yang diarsir pada gambar di bawah.

Cara II

Dari pertidaksamaan 4x – 3y < 12  diperoleh a=4 (positif), karena < maka DHP kiri garis, DHP diarsir seperti pada gambar di bawah ini. 

 

https://www.konsep-matematika.com/2016/02/menentukan-daerah-penyelesaian-arsiran-sistem-pertidaksamaan.html

https://www.plengdut.com/2012/09/sistem-pertidaksamaan-linear-dua.html

Matriks- Operasi Matriks, Penjumlahan, Pengurangan, dan Perkalian

Operasi Matriks 

Operasi yang berlaku pada matriks hanya penjumlahan, pengurangan dan perkalian.
Baca juga Ringkasan Matriks- Pengertian, Jenis, Ordo, Transpose

Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

Penjumlahan dan pengurangan elemen-elemen yang bersesuaian pada matriks. Syarat penjumlahan dan pengurangan pada matriks harus mempunyai ordo sama. 

Sifat-sifat yang berlaku pada penjumlahan dan pengurangan matriks ;

1. Komutatif ( Ditukar)

    A + B = B + A

2. Asosiatif ( Dikelompokkan)

    ( A + B )+ C = A + ( B+ C)

3. Matriks nol adalah identitas penjumlahan

4. A + (-A ) = O

    "-A" adalah lawan dari A

5. A - B tidak sama B - A

Contoh 1 :

Misalkan diberikan matriks A berordo 2x2 dan B berordo 2x2 sebagai berikut:

$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 4& 3\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}6& 8\\ 4& 2\end{array}\right)$

Tentukan penjumlahan dari matriks A dan matriks B

Jawab:

Contoh 2 :

Misalkan diberikan matriks sebagai berikut:

$S=\left[\begin{array}{cc}7& 5\\ 5& 3\\ 10& 4\end{array}\right],T=\left[\begin{array}{cc}4& 1\\ 1& 2\\ 5& 3\end{array}\right]$

Tentukan: S+T

Jawab:

$S+T=\left[\begin{array}{cc}7& 5\\ 5& 3\\ 10& 4\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}4& 1\\ 1& 2\\ 5& 3\end{array}\right]$ $S+T=\left[\begin{array}{cc}11& 6\\ 6& 5\\ 15& 7\end{array}\right]$

Contoh 3 :

Diberikan matrik berordo 2x2, misalkan matriks P dan matriks Q sebagai berikut:

$P=\left[\begin{array}{cc}2& 3\\ 6& 9\end{array}\right],Q=\left[\begin{array}{cc}3& 1\\ 7& 5\end{array}\right]$

Tentukan: P - Q

Jawab:

Contoh 4 :

Misalkan diberikan matriks A berordo 3x3 dan B berordo 3x3 sebagai berikut:

$A=\left[\begin{array}{ccc}10& 28& 15\\ 16& 13& 13\\ 24& 27& 20\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{ccc}9& 22& 10\\ 14& 10& 5\\ 20& 19& 8\end{array}\right]$

Tentukan: A - B 

Jawab:

             

            

Perkalian Matriks 

Matriks dapat dikalikan dengan sebuah bilangan bulat (skalar) atau dengan matriks yang lain. Masing- masing perkalian mempunyai syaratnya masing-masing.

Perkalian matriks ada dua, yaitu :

1. Perkalian skalar dengan matriks
    Suatu matriks yang dikalikan dengan bilangan bulat, maka hasilnya akan berupa matriks dengan elemen-elemen berupa hasil kali bilangan tersebut dengan elemen-elemen matriks sebelumnya.
Perkalian matriks dengan bilangan bulat dapat dikombinasikan dengan penjumlahan atau pengurangan asalkan dengan ordo yang sama. 
Sifat-sifat perkalian skalar dengan matriks
a. k(A+B) = kA + kB
b. k (A-B) = kA - kB

    
Contoh :

Diketahui konstanta k = 2 dan sebuah matriks A dengan persamaan seperti di bawah.

  

Maka hasil perkalian konstanta k dengan matriks A adalah sebagai berikut.

  

  

2. Perkalian matriks dengan matriks 

    Baris x Kolom

    Perkalian antara dua matriks, misalkan matriks A dan matriks B, dapat dilakukan jika jumlah kolom A sama dengan jumlah baris B. Perkalian ini akan menghasilkan matriks dengan jumlah baris sama dengan A dan jumlah kolom sama dengan B.

Perkalian matriks A yang berordo (mxn) dikali B yang berordo (nxm) akan menghasilkan C=AB yang berordo (mxm).

Perkalian matriks 2 x 2 secara umum

Perkalian matriks 3 x 3 secara umum

Contoh dua matriks yang tidak dapat dikalikan

Matriks pertama mempunyai jumlah kolom sebanyak 3 dan matriks ke dua mempunyai jumlah baris sebanyak 2. Karena jumlah kolom pada matriks pertama tidak sama dengan jumlah baris pada kolom ke dua maka dua buah matriks tersebut tidak dapat dikalikan.

Sifat- sifat perkalian matriks

1. Asosiatif  (AB)C=A(BC)
2. Tidak komutatif 
3. Distribusi 

    Distribusi kiri A(B+C)= AB + AC

    Distribusi kanan (B + C) A = BA + CA

4. Asosiatif skalar (kA)B=A(kB)  

Contoh 1 :
Perkalian matriks 2 x 2
Tentukan hasil perkalian matriks A dan B di bawah!

  

  

Jawab:

  

  

  

  

Contoh 2 : perkalian matriks 3 x 3

Tentukan hasil perkalian matriks 3 x 3 di bawah!

  

  

Jawab:

  

  

  

  

Contoh 3 : perkalian matriks (3 x 3) x (3 x 2)

  

  

Jawab:

  

  

  

  

Demikian proses perkalian matriks 3 x 3 dengan 3 x 2, diperoleh matriks dengan ukuran 3 x 2

Contoh 4 :

Tentukan hasil kali dari matriks A dan B jika matriksnya sebagai berikut:$A=\left[\begin{array}{ccc}3& 5& 2\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{c}3\\ 8\\ 1\end{array}\right]$

Jawab:

Baca juga Ringkasan Matriks- Pengertian, Jenis, Ordo, Transpose
https://idschool.net/sma/perkalian-matriks-3-x-3-2-x-2-dan-m-x-n-x-n-x-m/